2007년 03월 02일
조선시대 제곱근 계산의 증명.
링크 : 동아일보 "조선시대에 나눗셈-뺄셈만으로 제곱근 풀었다"
조선시대에서 독자적인 방법으로 나눗셈, 뺄셈 만으로 제곱근을 풀 수 있었다는 이야기인데, 일단 본문부터 소개를.
(초략)
홍길주의 풀이법은 간단하다. 먼저 수를 반으로 나누고 나눈 값을 1부터 오름차순으로 뺀다. 9의 경우 반으로 나눈 값 4.5에서 1을 빼고, 남은 값 3.5에서 2를 빼는 식이다. 그렇게 더는 뺄 수 없을 때 남은 수를 2배한 뒤 그 수가 뺄 수와 같으면 제곱근이라는 것.
3.5에서 2를 빼고 남은 수 1.5는 3으로 더는 뺄 수 없고 이를 2배한 3이 빼려는 수 3과 같기 때문에 9의 제곱근은 3이 된다는 것이다. 이는 훗날 서양 수학에 등장하는 수열의 합을 구하는 공식과 유사한 독특한 풀이법이다.
(후략)
흥미가 가서 노트에 약간 끄적여 가며 대략 풀어보니 말은 맞습니다.
논리적으로 맞기에 매우 흥미가 가는 계산법이긴 하지만 저 계산법은 어디까지나 '계속 빼고 남은 값의 2배가 빼지 못한 값과 같거나 거의 같다'라는 조건이 없으면 해당되지 않는 문제이기에, 실제로 문제를 풀 수 있는 요소가 있었을 지는 모르겠습니다.
정 뭐할 경우에는 X에서 대략 값을 찾아 낸 후에 X*100 혹은 10000 등 제곱근 구하기 쉬운 10배수를 곱하고 계속 반복해 보는 방법도 있겠지만요.
PS : 뭔가 이런 수학문제를 보면 괜히 근질 거리는 걸 보면 역시 공대 출신. (데굴)
조선시대에서 독자적인 방법으로 나눗셈, 뺄셈 만으로 제곱근을 풀 수 있었다는 이야기인데, 일단 본문부터 소개를.
홍길주의 풀이법은 간단하다. 먼저 수를 반으로 나누고 나눈 값을 1부터 오름차순으로 뺀다. 9의 경우 반으로 나눈 값 4.5에서 1을 빼고, 남은 값 3.5에서 2를 빼는 식이다. 그렇게 더는 뺄 수 없을 때 남은 수를 2배한 뒤 그 수가 뺄 수와 같으면 제곱근이라는 것.
3.5에서 2를 빼고 남은 수 1.5는 3으로 더는 뺄 수 없고 이를 2배한 3이 빼려는 수 3과 같기 때문에 9의 제곱근은 3이 된다는 것이다. 이는 훗날 서양 수학에 등장하는 수열의 합을 구하는 공식과 유사한 독특한 풀이법이다.
흥미가 가서 노트에 약간 끄적여 가며 대략 풀어보니 말은 맞습니다.
처음 수를 X라고 시작하면 2로 나눈 후 1부터 차례 차례 뺀다고 가정하고서 '더 뺄 수 없게 되었을 때 남는 수'를 Y로 지칭. 그리고 더는 뺄 수 없는 수를 n 이라고 합니다.
Y = X/2 - 1 - 2 - 3 - ... = X/2 - SUM(1 ~ n-1),
SUM (1 ~ n-1) <= X/2 <= SUM (1 ~ n)
Y = X/2 - n(n - 1) / 2
남은 수 Y의 2배가 빼지 못한 수 n와 동일하다는 조건이 실은 매우 중요한 요소인데,
Y * 2 = X - n(n - 1) = n
X - n^2 + n = n
이항하면
X = n^2
n = SQR (X)
SUM (1 ~ n-1) <= X/2 <= SUM (1 ~ n)
Y = X/2 - n(n - 1) / 2
남은 수 Y의 2배가 빼지 못한 수 n와 동일하다는 조건이 실은 매우 중요한 요소인데,
X - n^2 + n = n
이항하면
X = n^2
n = SQR (X)
논리적으로 맞기에 매우 흥미가 가는 계산법이긴 하지만 저 계산법은 어디까지나 '계속 빼고 남은 값의 2배가 빼지 못한 값과 같거나 거의 같다'라는 조건이 없으면 해당되지 않는 문제이기에, 실제로 문제를 풀 수 있는 요소가 있었을 지는 모르겠습니다.
정 뭐할 경우에는 X에서 대략 값을 찾아 낸 후에 X*100 혹은 10000 등 제곱근 구하기 쉬운 10배수를 곱하고 계속 반복해 보는 방법도 있겠지만요.
PS : 뭔가 이런 수학문제를 보면 괜히 근질 거리는 걸 보면 역시 공대 출신. (데굴)
# by | 2007/03/02 22:52 | 제멋대로 엔지니어! | 트랙백 | 덧글(2)
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전 산대 잡을줄도 모르고, 수학정리는 10년 이래로 안들여다 본지라 그야말로 검은건 글자고, 모니터는 백지군요. Orz.
중간의 '남은 수 * 2 = 뺄 수' 라는 조건이 매우 까다롭긴 하지만 홍길주라는 분의 계산법은 그 옛날에 1부터 n까지를 계속 더하면 n^2/2에 근접하게 간다는 걸 알아 내시고 그걸 역이용했다는 것이 대단한 것이겠지요.